“万物皆数”理论
古希腊毕达哥拉斯认为数学可以解释世界上的一切事物。他定义了自然数，并将自然数区分为奇数、偶数、素数、合数。他在研究音乐时，发现不同的弦长之比对应不同的音阶，基于这个，毕达哥拉斯定义了有理数，即一切数都可以表示成两个自然数的比值。
在毕达哥拉斯学派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式。他们认为1是最神圣的数字，1生2，2生诸数，数生点，点生线，线生面，面生体，体生万物。在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系，并宣称数是宇宙万物的本原。
第一个无理数的发现
有意思的是，正是毕达哥拉斯学派自己的发现，才导致“万物皆数”的破灭。毕达哥拉斯是最早发现勾股定理并给出证明的人。他的学生希帕索斯发现，根据勾股定理边长为1的正方形，其对角线长度（√2）无法用分数来表达。因为，如果存在自然数m、n使
两边平方后可得：2m²=n²。根据数的奇偶性，可知n必为偶数，由于m、n互质，所以m必为奇数。两边同除于2得m²=n²/2，奇数=偶数，矛盾。
毕达哥拉斯学派认为所有的数都可用分数来表示，比如这个对角线长度，应该在1到2之间。在1到2之间长度1的线段上，任何两个分数，无论他们挨的多近，它们之间总还是有无穷多个分数，但诡异的是，这么多分数都无法表达出这个对角线的长度。就这样，第一次数学危机爆发。
数系的扩充
无理数的发现使数学家困惑了两千多年。直到19世纪末，数学上严格的实数理论才建立。在这方面做出贡献的有三位数学家，分别是戴德金、康托尔和魏尔斯特拉斯。戴德金用分割有理数的方法定义了无理数。数轴上除了有理数，还有很多的空隙，这些空隙就是无理数。如果把数轴砍断，会出现什么情况呢。
戴德金分割
无非上图三种情况，如果用集合表示左边是A，右边是B，那么这一对集合{A,B}就叫做有理数的一个分割。A叫做分割的下集，B叫分割的上集。这三种情况分别为
1、A中无最大值，B中有最小值
2、A中有最大值，B中无最小值
3、A中无最大值，B中午最小值
前两个分割，分割点是有理数，第三个分割，分割点是无理数，这个无理数填补了有理数的一个空缺，这种集合对就叫戴德金分割。例如集合
(A，B)就是一个戴德金分割，并且定义了无理数√2。这样有理数集R的任一戴德金分割(A，B)，都唯一地确定一个实数。个人认为，戴德金分割可以确定代数数无理数，对于超越数戴德金分割似乎不太好用。
康托尔则用构造法定义了实数。他用有理数的无穷序列{an} 定义无理数及其顺序关系。康托尔首先定义了基本序列，即：一 个 有 理 数 序 列 a1，a2， …ak…， 对 于给定的任何正有理数 ε﹥0总存在一个正整数序数 N，使得当 m，n ﹥ N 时，对任何n及 m，恒有：
而序列 3，3.14，3.141，3.1415…就定义了无理数π，康托尔的构造法对代数数和超越数都完全适用。就这样数系的扩充从有理数扩充到了实数。
“万物皆数”的重生
无理数的发现使数系扩充到了实数，后来由于解三次方程的需要，又扩充到了复数，且扩充之后都能保持数学理论的自洽。随着科学的发展数系有可能会继续扩充。如今已是信息时代，人们对世间万物的认识本质上都是信息，信息可以数据化，“万物皆数”已是不争的事实。